1. No triângulo ABC, temos os ângulos ∠A = 30° e ∠B = 45°. No triângulo DEF, temos os ângulos ∠D = 30° e ∠E = 45°. Os triângulos ABC e DEF são semelhantes? Justifique sua resposta.

2. No triângulo ABC, temos AB = 6 cm, BC = 8 cm e AC = 10 cm. No triângulo DEF, temos DE = 3 cm, EF = 4 cm e DF = 5 cm. Determine se os triângulos são semelhantes e, em caso afirmativo, qual é a razão de semelhança.

3. No triângulo ABC, uma reta paralela ao lado BC intercepta os lados AB e AC nos pontos D e E, respectivamente. Se AB = 12 cm, AD = 8 cm e AC = 15 cm, determine o valor de AE.

4. Dois postes têm alturas de 6 metros e 9 metros. No mesmo instante do dia, eles projetam sombras de 4 metros e 6 metros, respectivamente. Determine se os triângulos formados pelos postes e suas sombras são semelhantes e justifique sua resposta.

5. No triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em C, a altura relativa à hipotenusa AB divide-a em dois segmentos: AD = 4 cm e DB = 9 cm. Calcule o comprimento da altura CD.

6. No triângulo ABC, os pontos D e E estão nos lados AB e AC, respectivamente, de modo que DE é paralelo a BC. Se AB = 15 cm, AD = 9 cm, AC = 25 cm e AE = x cm, determine o valor de x.

7. Uma pessoa de 1,8 metros de altura está a uma certa distância de um prédio. No mesmo instante, ela observa que sua sombra mede 3 metros e a sombra do prédio mede 50 metros. Qual é a altura do prédio?

8. No triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em C, traçamos a altura CD relativa à hipotenusa AB. Se AB = 13 cm, AD = 5 cm e DB = 8 cm, calcule os comprimentos dos catetos AC e BC.

9. Dois triângulos semelhantes têm áreas de 16 cm² e 36 cm², respectivamente. Se o perímetro do primeiro triângulo é 20 cm, qual é o perímetro do segundo triângulo?

10. No triângulo ABC, os pontos D, E e F são os pontos médios dos lados AB, BC e CA, respectivamente. Mostre que o triângulo DEF é semelhante ao triângulo ABC e determine a razão de semelhança entre eles.

Exercícios:

Respostas:

Resolução da Questão 1

No triângulo ABC, temos os ângulos ∠A = 30° e ∠B = 45°. No triângulo DEF, temos os ângulos ∠D = 30° e ∠E = 45°.

Para verificar se os triângulos são semelhantes, vamos usar o critério AA (Ângulo-Ângulo).

Sabemos que:

• ∠A = ∠D = 30°

• ∠B = ∠E = 45°

Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, podemos calcular o terceiro ângulo em cada triângulo:

Para o triângulo ABC: ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 45° = 105°

Para o triângulo DEF: ∠F = 180° - ∠D - ∠E = 180° - 30° - 45° = 105°

Portanto, ∠C = ∠F = 105°.

Como dois ângulos correspondentes são iguais (na verdade, todos os três pares de ângulos correspondentes são iguais), pelo critério AA, os triângulos ABC e DEF são semelhantes.

Resolução da Questão 2

No triângulo ABC, temos AB = 6 cm, BC = 8 cm e AC = 10 cm. No triângulo DEF, temos DE = 3 cm, EF = 4 cm e DF = 5 cm.

Para verificar se os triângulos são semelhantes, vamos usar o critério LLL (Lado-Lado-Lado). Precisamos verificar se os lados correspondentes são proporcionais.

Vamos calcular as razões entre os lados correspondentes:

• AB/DE = 6/3 = 2

• BC/EF = 8/4 = 2

• AC/DF = 10/5 = 2

Como todas as razões são iguais (= 2), pelo critério LLL, os triângulos ABC e DEF são semelhantes, com razão de semelhança k = 2.

Resolução da Questão 3

No triângulo ABC, uma reta paralela ao lado BC intercepta os lados AB e AC nos pontos D e E, respectivamente. Temos AB = 12 cm, AD = 8 cm e AC = 15 cm.

Pelo Teorema Fundamental da Semelhança, sabemos que quando uma reta é paralela a um lado de um triângulo e intercepta os outros dois lados, ela determina segmentos proporcionais nesses lados.

Portanto: AD/AB = AE/AC

Substituindo os valores conhecidos: 8/12 = AE/15 2/3 = AE/15

Multiplicando ambos os lados por 15: (2/3) × 15 = AE AE = 10 cm

Portanto, AE = 10 cm.

Resolução da Questão 4

Dois postes têm alturas de 6 metros e 9 metros. No mesmo instante do dia, eles projetam sombras de 4 metros e 6 metros, respectivamente.

Vamos analisar os triângulos formados pelos postes e suas sombras. Chamemos de triângulo 1 o formado pelo poste de 6 metros e sua sombra, e de triângulo 2 o formado pelo poste de 9 metros e sua sombra.

No triângulo 1:

• Altura do poste = 6 metros

• Comprimento da sombra = 4 metros

No triângulo 2:

• Altura do poste = 9 metros

• Comprimento da sombra = 6 metros

Para verificar se os triângulos são semelhantes, vamos calcular as razões entre as medidas correspondentes:

• Razão entre as alturas dos postes: 9/6 = 3/2 = 1,5

• Razão entre os comprimentos das sombras: 6/4 = 3/2 = 1,5

Como as razões são iguais, os lados correspondentes são proporcionais. Além disso, os ângulos formados pelos raios solares são iguais em ambos os casos (pois os raios são paralelos). Portanto, pelo critério LAL (Lado-Ângulo-Lado), os triângulos são semelhantes, com razão de semelhança k = 3/2 = 1,5.

Resolução da Questão 5

No triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em C, a altura relativa à hipotenusa AB divide-a em dois segmentos: AD = 4 cm e DB = 9 cm.

Quando traçamos a altura relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo, uma das relações métricas que obtemos é: h² = m × n

Onde:

• h é a altura relativa à hipotenusa

• m e n são os segmentos da hipotenusa determinados pela altura

No nosso caso, m = AD = 4 cm e n = DB = 9 cm.

Substituindo na fórmula: h² = 4 × 9 h² = 36 h = 6 cm

Portanto, o comprimento da altura CD é 6 cm.

Resolução da Questão 6

No triângulo ABC, os pontos D e E estão nos lados AB e AC, respectivamente, de modo que DE é paralelo a BC. Temos AB = 15 cm, AD = 9 cm, AC = 25 cm e AE = x cm.

Pelo Teorema Fundamental da Semelhança, quando uma reta é paralela a um lado de um triângulo e intercepta os outros dois lados, ela determina segmentos proporcionais nesses lados.

Portanto: AD/AB = AE/AC

Substituindo os valores conhecidos: 9/15 = x/25 3/5 = x/25

Multiplicando ambos os lados por 25: (3/5) × 25 = x x = 15 cm

Portanto, AE = 15 cm.

Resolução da Questão 7

Uma pessoa de 1,8 metros de altura está a uma certa distância de um prédio. No mesmo instante, ela observa que sua sombra mede 3 metros e a sombra do prédio mede 50 metros.

Vamos usar a semelhança de triângulos para resolver este problema. Os triângulos formados pela pessoa e sua sombra, e pelo prédio e sua sombra, são semelhantes (pois os raios solares são paralelos).

Chamando de h a altura do prédio, temos:

• Altura da pessoa = 1,8 metros

• Sombra da pessoa = 3 metros

• Altura do prédio = h metros

• Sombra do prédio = 50 metros

Pela semelhança de triângulos, temos: altura da pessoa / sombra da pessoa = altura do prédio / sombra do prédio

Substituindo os valores: 1,8/3 = h/50 0,6 = h/50

Multiplicando ambos os lados por 50: 0,6 × 50 = h h = 30 metros

Portanto, a altura do prédio é 30 metros.

Resolução da Questão 8

No triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em C, traçamos a altura CD relativa à hipotenusa AB. Temos AB = 13 cm, AD = 5 cm e DB = 8 cm.

Quando traçamos a altura relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo, obtemos as seguintes relações métricas:

• a² = c × m

• b² = c × n

Onde:

• a e b são os catetos

• c é a hipotenusa

• m e n são os segmentos da hipotenusa determinados pela altura

No nosso caso, c = AB = 13 cm, m = AD = 5 cm e n = DB = 8 cm.

Para calcular o cateto AC: AC² = AB × AD AC² = 13 × 5 AC² = 65 AC = √65 ≈ 8,06 cm

Para calcular o cateto BC: BC² = AB × DB BC² = 13 × 8 BC² = 104 BC = √104 ≈ 10,2 cm

Portanto, os comprimentos dos catetos são AC ≈ 8,06 cm e BC ≈ 10,2 cm.

Resolução da Questão 9

Dois triângulos semelhantes têm áreas de 16 cm² e 36 cm², respectivamente. O perímetro do primeiro triângulo é 20 cm.

Sabemos que, para triângulos semelhantes, a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança: Área₂/Área₁ = k²

Onde k é a razão de semelhança.

Substituindo os valores: 36/16 = k² 9/4 = k² k = 3/2

Também sabemos que a razão entre os perímetros é igual à razão de semelhança: Perímetro₂/Perímetro₁ = k

Substituindo os valores: Perímetro₂/20 = 3/2

Multiplicando ambos os lados por 20: Perímetro₂ = 20 × (3/2) Perímetro₂ = 30 cm

Portanto, o perímetro do segundo triângulo é 30 cm.

Resolução da Questão 10

No triângulo ABC, os pontos D, E e F são os pontos médios dos lados AB, BC e CA, respectivamente.

Primeiro, vamos mostrar que o triângulo DEF é semelhante ao triângulo ABC.

Como D é ponto médio de AB, temos AD = DB = AB/2. Como E é ponto médio de BC, temos BE = EC = BC/2. Como F é ponto médio de CA, temos CF = FA = CA/2.

Consideremos o segmento DE. Pelo teorema do ponto médio (que é um caso especial do Teorema de Tales), sabemos que DE é paralelo a AC e DE = AC/2.

De forma similar, EF é paralelo a AB e EF = AB/2, e FD é paralelo a BC e FD = BC/2.

Como os lados do triângulo DEF são paralelos aos lados correspondentes do triângulo ABC, os ângulos correspondentes são iguais. Além disso, os lados correspondentes estão na razão 1:2.

Portanto, pelo critério AA (ou pelo critério LLL), o triângulo DEF é semelhante ao triângulo ABC, com razão de semelhança k = 1/2.

Isso significa que cada lado do triângulo DEF mede metade do lado correspondente do triângulo ABC.