Introdução: Além da Igualdade – Desvendando o Mundo das Inequações Simples

Na matemática, nem sempre estamos interessados em encontrar valores que tornam uma igualdade verdadeira. Muitas vezes, buscamos os valores que satisfazem uma desigualdade, ou seja, uma relação onde uma expressão é maior que, menor que, maior ou igual a, ou menor ou igual a outra. As inequações simples, também conhecidas como inequações de primeiro grau, são desigualdades lineares que envolvem uma única incógnita elevada à primeira potência.

Nesta postagem abrangente, embarcaremos em uma jornada para desvendar o mundo das inequações simples. Exploraremos sua definição, os símbolos que as representam, as propriedades que governam sua manipulação e, o mais importante, aprenderemos como encontrar o conjunto de valores que tornam a desigualdade verdadeira. Utilizaremos uma linguagem simples e didática, ilustrando cada conceito com exemplos práticos e mostrando como representar as soluções de forma clara e concisa. Seja você um estudante dando os primeiros passos na álgebra ou alguém buscando relembrar conceitos importantes, este guia completo é para você!

1. O Que São Inequações Simples? Uma Comparação de Valores

Uma inequação simples é uma sentença matemática que expressa uma relação de desigualdade entre duas expressões, onde a incógnita (geralmente representada por uma letra, como x) aparece com expoente máximo igual a 1.

Símbolos de Desigualdade:

• Maior que: > (exemplo: a>b significa que a é maior que b)

• Menor que: < (exemplo: a<b significa que a é menor que b)

• Maior ou igual a: ≥ (exemplo: a≥b significa que a é maior que b ou a é igual a b)

• Menor ou igual a: ≤ (exemplo: a≤b significa que a é menor que b ou a é igual a b)

• Diferente de: ≠ = (embora não seja estritamente uma "desigualdade" no mesmo sentido, indica que os valores não são iguais)

A forma geral de uma inequação simples com uma incógnita x pode ser uma das seguintes:

• ax+b>c

• ax+b<c

• ax+b≥c

• ax+b≤c

Onde a, b e c são números conhecidos (constantes), e a é diferente de zero.

Componentes de uma Inequação Simples:

• Incógnita (ou Variável): A letra (geralmente x) que representa o valor desconhecido que queremos encontrar.

• Coeficiente da Incógnita (a): O número que multiplica a incógnita.

• Termos Constantes (b e c): Os números que não estão multiplicados pela incógnita.

• Primeiro Membro (ax + b): A expressão algébrica que está à esquerda do sinal de desigualdade.

• Segundo Membro (c): A constante que está à direita do sinal de desigualdade.

Exemplos de Inequações Simples:

• 2x+3>7

• 5y−1<9

• −3z+4≥−2

• (1/2)a−5≤1

2. O Objetivo: Encontrar o Conjunto Solução

Resolver uma inequação simples significa encontrar todos os valores da incógnita que tornam a desigualdade verdadeira. Diferentemente das equações, que geralmente têm uma única solução (ou um número finito delas), as inequações frequentemente possuem um conjunto solução infinito de valores.

Para encontrar o conjunto solução, nosso objetivo é isolar a incógnita em um dos lados da inequação, de forma semelhante ao que fazemos com as equações. No entanto, precisamos ter cuidado com as propriedades das desigualdades, que são ligeiramente diferentes das propriedades da igualdade.

3. Propriedades das Desigualdades: As Regras para Manter a Relação

As propriedades das desigualdades nos permitem realizar as mesmas operações em ambos os lados da inequação sem alterar a relação de desigualdade, com uma exceção crucial:

• Propriedade Aditiva da Desigualdade: Se a>b, então a+c>b+c. (O mesmo vale para <,≥,≤). Podemos adicionar o mesmo valor a ambos os lados.

• Propriedade Subtrativa da Desigualdade: Se a>b, então a−c>b−c. (O mesmo vale para <,≥,≤). Podemos subtrair o mesmo valor de ambos os lados.

• Propriedade Multiplicativa da Desigualdade:

  • Se a>b e c>0, então a×c>b×c. (Se multiplicamos por um número positivo, a desigualdade se mantém).

  • Se a>b e c<0, então a×c<b×c. (Se multiplicamos por um número negativo, a desigualdade se inverte).

• Propriedade Divisiva da Desigualdade:

  • Se a>b e c>0, então a/c > b/c​. (Se dividimos por um número positivo, a desigualdade se mantém).

  • Se a>b e c<0, então a/c < b/c​. (Se dividimos por um número negativo, a desigualdade se inverte).

A inversão da desigualdade ao multiplicar ou dividir por um número negativo é a principal diferença entre resolver equações e inequações.

4. Métodos de Resolução: Encontrando o Conjunto de Valores

Vamos aplicar as propriedades das desigualdades para resolver algumas inequações simples:

Exemplo 1: Resolva a inequação 2x+3>7.

1. Subtrair a constante: Subtraímos 3 de ambos os lados: 2x+3−3>7−3 2x>4

2. Dividir pelo coeficiente (positivo): Dividimos ambos os lados por 2 (que é positivo, então a desigualdade se mantém): (2x/2) ​> 24​ x>2

3. Conjunto Solução: O conjunto solução é todos os números reais maiores que 2. Podemos representar isso como {x∈R∣ x>2}.

Exemplo 2: Resolva a inequação −3z+4≥−2.

1. Subtrair a constante: Subtraímos 4 de ambos os lados: −3z+4−4≥−2−4 −3z≥−6

2. Dividir pelo coeficiente (negativo): Dividimos ambos os lados por -3 (que é negativo, então a desigualdade se inverte): (-3z/-3)≤ -6/-3 ≤ 2

3. Conjunto Solução: O conjunto solução é todos os números reais menores ou iguais a 2. Podemos representar isso como {z∈R∣z≤2}.

Exemplo 3: Resolva a inequação 5y−1<9.

1. Adicionar a constante: Adicionamos 1 a ambos os lados: 5y−1+1<9+1 5y<10

2. Dividir pelo coeficiente (positivo): Dividimos ambos os lados por 5: 5y/5 ​< 10/2, então​ y<2

3. Conjunto Solução: O conjunto solução é todos os números reais menores que 2. Podemos representar isso como {y∈R∣y<2}.

Exemplo 4: Resolva a inequação (1/2​)a −5≤1.

1. Adicionar a constante: Adicionamos 5 a ambos os lados: (1/2)​a − 5 + 5 ≤ 1+ 5 então (1/2)​a≤6

2. Multiplicar pelo inverso (positivo): Multiplicamos ambos os lados por 2 (que é positivo): 2×(1/2)​a ≤ 6×2 a≤12

3. Conjunto Solução: O conjunto solução é todos os números reais menores ou iguais a 12. Podemos representar isso como {a∈R∣a≤12}.

5. Representação Gráfica das Soluções: A Reta Numérica e os Intervalos

As soluções de inequações simples podem ser representadas graficamente na reta numérica e utilizando a notação de intervalos.

Representação na Reta Numérica:

• Para x>a, desenhamos um círculo aberto em a e uma seta apontando para a direita (indicando todos os valores maiores que a).

• Para x<a, desenhamos um círculo aberto em a e uma seta apontando para a esquerda (indicando todos os valores menores que a).

• Para x≥a, desenhamos um círculo fechado (ou preenchido) em a e uma seta apontando para a direita (indicando todos os valores maiores ou iguais a a).

• Para x≤a, desenhamos um círculo fechado (ou preenchido) em a e uma seta apontando para a esquerda (indicando todos os valores menores ou iguais a a).

Notação de Intervalos:

• Para x>a, o intervalo é (a,+∞). O parêntese indica que a não está incluído.

• Para x<a, o intervalo é (−∞,a). O parêntese indica que a não está incluído.

• Para x≥a, o intervalo é [a,+∞). O colchete indica que a está incluído.

• Para x≤a, o intervalo é (−∞,a]. O colchete indica que a está incluído.

Exemplos de Representação:

• Solução x>2: Reta numérica com círculo aberto em 2 e seta para a direita. Intervalo: (2,+∞).

• Solução z≤2: Reta numérica com círculo fechado em 2 e seta para a esquerda. Intervalo: (−∞,2].

• Solução y<2: Reta numérica com círculo aberto em 2 e seta para a esquerda. Intervalo: (−∞,2).

• Solução a≤12: Reta numérica com círculo fechado em 12 e seta para a esquerda. Intervalo: (−∞,12].

6. Inequações com Incógnita em Ambos os Lados:

Para resolver inequações onde a incógnita aparece em ambos os lados, o objetivo é agrupar os termos com a incógnita em um lado e os termos constantes no outro, utilizando as propriedades das desigualdades.

Exemplo: Resolva a inequação 6y−1<2y+15.

1. Agrupar os termos com a incógnita: Subtraímos 2y de ambos os lados: 6y−2y−1<2y−2y+15 4y−1<15

2. Agrupar os termos constantes: Adicionamos 1 a ambos os lados: 4y−1+1<15+1 4y<16

3. Isolar a incógnita: Dividimos ambos os lados por 4 (positivo): 4y/4 ​ < 16/4​ então y<4

4. Conjunto Solução: {y∈R∣y<4}. Intervalo: (−∞,4).

7. Aplicações das Inequações Simples:

As inequações simples são utilizadas para modelar situações onde um valor não é fixo, mas sim dentro de um intervalo. Algumas aplicações incluem:

• Restrições: Definir limites para variáveis (ex: a temperatura deve ser maior que 20°C).

• Otimização: Encontrar a faixa de valores que maximiza um lucro ou minimiza um custo.

• Comparação: Determinar quando uma quantidade é maior ou menor que outra.

• Domínios de funções: Definir os valores para os quais uma função está definida.

Exemplo de Aplicação:

"Para que uma piscina seja considerada aquecida, sua temperatura deve ser maior que 28°C. Seja T a temperatura da piscina. Escreva uma inequação que represente essa situação."

• Inequação: T>28

Conclusão: Dominando o Mundo das Desigualdades

As inequações simples são uma ferramenta poderosa para descrever e resolver situações onde os valores podem variar dentro de um determinado intervalo. Compreender os símbolos, as propriedades e os métodos de resolução das inequações é fundamental para avançar nos estudos da álgebra e para aplicar esses conceitos em diversas áreas. Esperamos que este guia completo e didático tenha desvendado o mundo das desigualdades matemáticas e o capacitado a resolver inequações simples com confiança e clareza!

Algumas video-aulas sobre o assunto:

http://www.youtube.com/watch?v=fAKwRRptIJo

Canal: Dicasdemat Sandro Curió

http://www.youtube.com/watch?v=-LT4pGt2acE

Canal: Gis com Giz Matemática