Exercícios

Parte 1: Cálculo de Potências Simples e Identificação de Elementos

1.Calcule o valor das seguintes potências:

a) 3²

b) 4³

c) 7¹

d) 10⁰

e) 0⁵

2.Identifique a base e o expoente em cada uma das potências a seguir:

a) 6⁴

b) 2⁹

c) 15¹

d) 8⁰

3.Qual o valor de (-3)²? Explique o raciocínio.

4.Qual o valor de (-3)³? Explique o raciocínio.

Parte 2: Potências de Base 10

1.Calcule o valor das seguintes potências de base 10:

a) 10⁵

b) 10²

c) 10⁰

d) 10¹

2.Escreva os seguintes números usando potências de base 10:

a) 1.000.000

b) 100

c) 1

d) 10

3.Um cientista está estudando uma cultura de bactérias que se multiplica por 10 a cada hora. Se ele começou com 1 bactéria, quantas bactérias ele terá após 4 horas? Expresse a resposta como uma potência de base 10 e seu valor.

4.A distância média da Terra à Lua é de aproximadamente 384.400 km. Se quiséssemos expressar esse número usando uma potência de base 10 (aproximadamente), qual seria a potência mais adequada?

5.Qual a diferença entre 10³ e 3¹⁰?

Parte 3: Regras Especiais e Aplicações

1.Calcule o valor de:

a) 25⁰

b) (1/2)⁰

c) (-100)⁰

2.Calcule o valor de:

a) 1¹²

b) 1⁰

c) 1⁻⁵ (apenas para verificar a compreensão da regra da base 1, mesmo que não tenhamos abordado expoentes negativos em detalhe)

3.Se a base de uma potência é 0 e o expoente é 7, qual é o resultado?

4.Um cubo tem aresta medindo 6 cm. Qual é o seu volume? Expresse a resposta usando potenciação e seu valor.

5.Em um jogo de tabuleiro, cada jogador lança um dado de 6 faces 3 vezes. Quantas sequências de resultados diferentes são possíveis? Expresse a resposta usando potenciação e seu valor.

6.Se um número é elevado ao expoente 1, qual é o resultado?

7.Explique por que 0⁰ é uma indeterminação matemática.

8.Qual o erro na afirmação: "4² é o mesmo que 4 x 2"?

9.Um investimento rende juros compostos. Se o capital inicial é multiplicado por 1,05 a cada ano, qual será o fator de multiplicação do capital após 3 anos? Expresse como potência.

10.Se a área de um quadrado é 49 cm², qual é a medida do seu lado? Expresse a relação usando potenciação.

Respostas

Parte 1: Cálculo de Potências Simples e Identificação de Elementos

1.Calcule o valor das seguintes potências:

a) 3² Raciocínio: A base é 3 e o expoente é 2. Isso significa que devemos multiplicar o número 3 por ele mesmo 2 vezes.

Cálculo: 3 x 3 = 9

Resultado: 9

b) 4³ Raciocínio: A base é 4 e o expoente é 3. Isso significa que devemos multiplicar o número 4 por ele mesmo 3 vezes.

Cálculo: 4 x 4 x 4 = 64

Resultado:64

c) 7¹ Raciocínio: A base é 7 e o expoente é 1. Isso significa que devemos multiplicar o número 7 por ele mesmo 1 vezes.

Resultado: 7

d) 10⁰ Todo número elevado a 0 é 1

Resultado: 1

e) 0⁵ 0 elevado a qualquer expoente é 0

Resultado: 0

2.Identifique a base e o expoente em cada uma das potências a seguir:

a) 6⁴ Base: 6 Expoente: 4

b) 2⁹ Base: 2 Expoente: 9

c) 15¹ Base: 15 Expoente: 1

d) 8⁰ Base: 8 Expoente:0

3.Qual o valor de (-3)²? Explique o raciocínio.

•Raciocínio: A base é -3 e o expoente é 2. Isso significa que devemos multiplicar o número -3 por ele mesmo 2 vezes. Quando a base é negativa e o expoente é par, o resultado é positivo.

•Cálculo: (-3) x (-3) = 9

•Resultado: 9

4.Qual o valor de (-3)³? Explique o raciocínio.

•Raciocínio: A base é -3 e o expoente é 3. Isso significa que devemos multiplicar o número -3 por ele mesmo 3 vezes. Quando a base é negativa e o expoente é ímpar, o resultado é negativo.

•Cálculo: (-3) x (-3) x (-3) = 9 x (-3) = -27

•Resultado: -27

Parte 2: Potências de Base 10

1.Calcule o valor das seguintes potências de base 10:

a) 10⁵ Raciocínio: A base é 10 e o expoente é 5. Isso significa 1 seguido de 5 zeros. Cálculo: 100.000 *

Resultado: 100.000

b) 10² Raciocínio: A base é 10 e o expoente é 2. Isso significa 1 seguido de 2 zeros.

Resultado: 100

c) 10⁰ Todo número elevado a 0 é 1

Resultado: 1

d) 10¹ Todo número elevado a 1 é ele mesmo

Resposta: 10

2.Escreva os seguintes números usando potências de base 10:

a) 1.000.000 Raciocínio: O número 1.000.000 tem 6 zeros. Portanto, a potência de base 10 correspondente é 10 elevado a 6.

Potenciação: 10⁶

b) 100 Raciocínio: O número 100 tem 2 zeros. Portanto, a potência de base 10 correspondente é 10 elevado a 2.

Potenciação: 10²

c) 1 Raciocínio: o número 1 não possui zeros. portanto é 10 elevado a 0

Potenciação: 10⁰

3.Um cientista está estudando uma cultura de bactérias que se multiplica por 10 a cada hora. Se ele começou com 1 bactéria, quantas bactérias ele terá após 4 horas? Expresse a resposta como uma potência de base 10 e seu valor.

•Raciocínio: Se a cultura se multiplica por 10 a cada hora, após 1 hora teremos 10 bactérias (10¹), após 2 horas teremos 10 x 10 = 100 bactérias (10²), e assim por diante. Após 4 horas, teremos 10 multiplicado por ele mesmo 4 vezes.

•Potenciação: 10⁴

•Valor: 10.000

•Resposta: Após 4 horas, o cientista terá 10⁴ ou 10.000 bactérias.

4.A distância média da Terra à Lua é de aproximadamente 384.400 km. Se quiséssemos expressar esse número usando uma potência de base 10 (aproximadamente), qual seria a potência mais adequada?

•Raciocínio: Para expressar 384.400 km aproximadamente em potência de base 10, podemos arredondar para 400.000 ou 300.000. O número 100.000 é 10⁵. O número 1.000.000 é 10⁶. Como 384.400 está entre 10⁵ e 10⁶, e mais próximo de 10⁵ se considerarmos apenas a ordem de grandeza inicial, a potência de 10 mais adequada para representar a ordem de grandeza seria 10⁵ (100.000) ou 10⁶ (1.000.000). No entanto, para fins de notação científica, seria 3.844 x 10⁵ ou 3.844 x 10⁵. Se a pergunta é sobre a potência de 10 mais próxima para a ordem de grandeza, 10⁵ ou 10⁶ seriam as opções. Considerando que 384.400 está mais próximo de 100.000 do que de 1.000.000 em termos de ordem de grandeza, 10⁵ é uma boa aproximação para a ordem de grandeza. Se a intenção é a notação científica, seria 3.844 x 10⁵.

•Resposta: A potência de base 10 mais adequada para representar a ordem de grandeza de 384.400 km é 10⁵ (100.000), ou, em notação científica, 3.844 x 10⁵.

5.Qual a diferença entre 10³ e 3¹⁰?

•Raciocínio: Ambas são potências, mas com base e expoente invertidos, o que resulta em valores muito diferentes.

•Cálculo de 10³: 10 x 10 x 10 = 1.000

•Cálculo de 3¹⁰: 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 59.049

•Diferença: 10³ (mil) é o resultado de multiplicar 10 por ele mesmo 3 vezes. Já 3¹⁰ (cinquenta e nove mil e quarenta e nove) é o resultado de multiplicar 3 por ele mesmo 10 vezes. A diferença é significativa, mostrando que a ordem da base e do expoente é crucial na potenciação.

Parte 3: Regras Especiais e Aplicações

1.Calcule o valor de:

a) 25⁰ Raciocínio: Qualquer número (exceto 0) elevado à potência de 0 é igual a 1.

Resultado: 1

b) (1/2)⁰ Qualquer número (exceto 0) elevado à potência de 0 é igual a 1

Resultado: 1

c) (-100)⁰ Qualquer número (exceto 0) elevado à potência de 0 é igual a 1

Resultado: 1

2.Calcule o valor de:

a) 1¹² Raciocínio: Um elevado a qualquer expoente é igual a um.

Resultado: 1

3.Se a base de uma potência é 0 e o expoente é 7, qual é o resultado?

•Raciocínio: Zero elevado a qualquer expoente positivo é igual a zero.

•Cálculo: 0⁷ = 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = 0

•Resultado: 0

4.Um cubo tem aresta medindo 6 cm. Qual é o seu volume? Expresse a resposta usando potenciação e seu valor.

•Raciocínio: O volume de um cubo é calculado multiplicando a medida da aresta por ela mesma três vezes (aresta³).

•Potenciação: 6³

•Cálculo: 6 x 6 x 6 = 36 x 6 = 216

•Valor: 216 cm³

•Resposta: O volume do cubo é 6³ = 216 cm³.

5.Em um jogo de tabuleiro, cada jogador lança um dado de 6 faces 3 vezes. Quantas sequências de resultados diferentes são possíveis? Expresse a resposta usando potenciação e seu valor.

•Raciocínio: Para cada lançamento, há 6 resultados possíveis. Como há 3 lançamentos, multiplicamos o número de possibilidades de cada lançamento.

•Potenciação: 6³

•Cálculo: 6 x 6 x 6 = 216

•Valor: 216

•Resposta: São possíveis 6³ = 216 sequências de resultados diferentes.

6.Se um número é elevado ao expoente 1, qual é o resultado?

•Raciocínio: Qualquer número elevado à potência de 1 é igual a ele mesmo.

•Resposta: O resultado é o próprio número.

7.Explique por que 0⁰ é uma indeterminação matemática.

•Raciocínio: A expressão 0⁰ é considerada uma indeterminação porque ela apresenta um conflito entre duas regras da potenciação:

•Qualquer número (diferente de zero) elevado a 0 é 1 (ex: 5⁰ = 1).

•Zero elevado a qualquer expoente positivo é 0 (ex: 0⁵ = 0). Se aplicarmos a primeira regra, 0⁰ deveria ser 1. Se aplicarmos a segunda, 0⁰ deveria ser 0. Como não há um valor único e consistente que satisfaça ambas as regras, 0⁰ é deixado como uma forma indeterminada, o que significa que seu valor não pode ser definido de forma única dentro das regras usuais da aritmética.

8.Qual o erro na afirmação: "4² é o mesmo que 4 x 2"?

•Raciocínio: O erro está na interpretação do expoente. Na potenciação, o expoente indica quantas vezes a base é multiplicada por si mesma, e não que a base deve ser multiplicada pelo expoente.

•Explicação: 4² significa 4 x 4, que é igual a 16. Já 4 x 2 é igual a 8. Os resultados são diferentes, demonstrando que a potenciação não é uma multiplicação simples da base pelo expoente.

9.Um investimento rende juros compostos. Se o capital inicial é multiplicado por 1,05 a cada ano, qual será o fator de multiplicação do capital após 3 anos? Expresse como potência.

•Raciocínio: Se o capital é multiplicado por 1,05 a cada ano, após 1 ano o fator é 1,05. Após 2 anos, é 1,05 x 1,05. Após 3 anos, é 1,05 x 1,05 x 1,05.

•Potenciação: 1,05³

•Resposta: O fator de multiplicação do capital após 3 anos será 1,05³.

10.Se a área de um quadrado é 49 cm², qual é a medida do seu lado? Expresse a relação usando potenciação.

•Raciocínio: A área de um quadrado é calculada elevando a medida do lado ao quadrado (lado²). Para encontrar o lado, precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, resulte em 49.

•Relação com Potenciação: lado² = 49

•Cálculo: O número que, multiplicado por ele mesmo, resulta em 49 é 7 (7 x 7 = 49).

•Resposta: A medida do lado do quadrado é 7 cm, e a relação pode ser expressa como lado² = 49.