Observe o triângulo retângulo ABC abaixo, com ângulo reto em C.
(Imagine um triângulo retângulo ABC, reto em C. Lado AC = 8, lado BC = 6. O ângulo em A é α e em B é β)
a) Qual a medida da hipotenusa AB? (Use o Teorema de Pitágoras).
b) Em relação ao ângulo α, identifique o cateto oposto e o cateto adjacente.
c) Calcule sen α, cos α e tan α.
d) Em relação ao ângulo β, identifique o cateto oposto e o cateto adjacente.
e) Calcule sen β, cos β e tan β.
Complete a tabela com os valores das razões trigonométricas para os ângulos notáveis:
Sabendo que sen(x) = 0,6 e que x é um ângulo agudo de um triângulo retângulo, calcule cos(x) e tan(x) usando as relações fundamentais.
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 20 cm e um dos ângulos agudos mede 60°. Calcule as medidas dos dois catetos.
Um triângulo retângulo tem catetos medindo 5 cm e 12 cm.
a) Calcule a medida da hipotenusa.
b) Calcule o seno, cosseno e tangente do menor ângulo agudo.
Se cos(y) = sen(40°), e y é um ângulo agudo, qual o valor de y? Justifique usando a relação entre ângulos complementares.
Dado um triângulo retângulo onde tan(α) = 3/4 e o cateto adjacente a α mede 8 cm. Calcule a medida do cateto oposto e da hipotenusa.
Calcule o valor da expressão: E = (sen 30° + cos 60°) / tan 45°
Uma escada de 5 metros de comprimento está apoiada em um muro vertical. O pé da escada está a 3 metros da base do muro. Qual o seno do ângulo que a escada forma com o solo?
Um avião decola e sobe formando um ângulo de 30° com o solo. Quando o avião percorreu 2000 metros em linha reta desde a decolagem, qual era sua altura em relação ao solo? (Considere sen 30° = 0,5).
Do topo de um farol de 40 metros de altura, um observador avista um barco no mar sob um ângulo de depressão de 60°. Qual a distância aproximada do barco até a base do farol? (Considere tan 60° ≈ 1,73). (Imagine um farol vertical, o mar horizontal. O ângulo de depressão é formado pela linha horizontal que sai do observador e a linha de visão até o barco).
Uma rampa lisa de 10 metros de comprimento faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. Qual a altura que a pessoa sobe ao percorrer toda a rampa? (Considere sen 30° = 0,5).
Para medir a largura de um rio, um topógrafo marca um ponto A em uma margem e um ponto B na margem oposta. Em seguida, ele se desloca 50 metros perpendicularmente à linha AB, até um ponto C na mesma margem de A. Ele mede o ângulo ACB e encontra 60°. Qual a largura aproximada do rio? (Considere tan 60° ≈ 1,73).
Um poste vertical projeta uma sombra de 6 metros no chão horizontal quando os raios solares formam um ângulo de 45° com o solo. Qual a altura do poste?
Em um triângulo retângulo, um cateto mede 9 cm e a hipotenusa mede 15 cm. Qual o cosseno do ângulo adjacente a esse cateto?
Exercícios de trigonometria do triângulo retângulo
Resolva os Exercícios de trigonometria do triângulo retângulo
Veja as Resoluções detalhadas dos Exercícios de trigonometria do triângulo retângulo
Questão 1: (Triângulo retângulo ABC, reto em C. AC = 8, BC = 6. Ângulo em A é α, em B é β)
a) Hipotenusa AB: Pelo Teorema de Pitágoras: AB² = AC² + BC² AB² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 AB = √100 = 10. A hipotenusa mede 10.
b) Em relação a α:
Cateto Oposto (CO) = BC = 6
Cateto Adjacente (CA) = AC = 8
c) Cálculos para α:
sen α = CO / H = 6 / 10 = 3/5 = 0,6
cos α = CA / H = 8 / 10 = 4/5 = 0,8
tan α = CO / CA = 6 / 8 = 3/4 = 0,75
d) Em relação a β:
Cateto Oposto (CO) = AC = 8
Cateto Adjacente (CA) = BC = 6
e) Cálculos para β:
sen β = CO / H = 8 / 10 = 4/5 = 0,8
cos β = CA / H = 6 / 10 = 3/5 = 0,6
tan β = CO / CA = 8 / 6 = 4/3 ≈ 1,33
Questão 2: Completar a tabela dos ângulos notáveis:
Questão 3: sen(x) = 0,6 = 6/10 = 3/5. x é agudo.
Calcular cos(x): Usar a Relação Fundamental: sen²(x) + cos²(x) = 1 (3/5)² + cos²(x) = 1 9/25 + cos²(x) = 1 cos²(x) = 1 – 9/25 = 25/25 – 9/25 = 16/25 cos(x) = √(16/25) = 4/5 (Como x é agudo, cos(x) é positivo). cos(x) = 4/5 = 0,8.
Calcular tan(x): Usar a Relação da Tangente: tan(x) = sen(x) / cos(x) tan(x) = (3/5) / (4/5) = (3/5) * (5/4) = 3/4. tan(x) = 3/4 = 0,75.
Questão 4: H = 20 cm, α = 60°.
Achar Cateto Oposto (CO) a 60°: Usar seno. sen 60° = CO / H √3/2 = CO / 20 2 * CO = 20√3 CO = (20√3) / 2 = 10√3 cm.
Achar Cateto Adjacente (CA) a 60°: Usar cosseno. cos 60° = CA / H 1/2 = CA / 20 2 * CA = 20 CA = 20 / 2 = 10 cm. Os catetos medem 10 cm e 10√3 cm.
Questão 5: Catetos = 5 cm e 12 cm. a) Hipotenusa (H): Pitágoras: H² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 H = √169 = 13 cm. b) Menor ângulo agudo: O menor ângulo é oposto ao menor cateto (5 cm). Vamos chamar esse ângulo de α.
CO = 5, CA = 12, H = 13.
sen α = CO / H = 5 / 13
cos α = CA / H = 12 / 13
tan α = CO / CA = 5 / 12
Questão 6: cos(y) = sen(40°). y é agudo.
Sabemos que cos(y) = sen(90° – y).
Então, sen(90° – y) = sen(40°).
Como os ângulos são agudos, podemos igualar os argumentos: 90° – y = 40°.
y = 90° – 40° = 50°.
Justificativa: O cosseno de um ângulo agudo é igual ao seno do seu complemento.
Questão 7: tan(α) = 3/4, CA = 8 cm.
Achar Cateto Oposto (CO): tan(α) = CO / CA 3/4 = CO / 8 4 CO = 3 8 = 24 CO = 24 / 4 = 6 cm.
Achar Hipotenusa (H): Pitágoras: H² = CO² + CA² H² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 H = √100 = 10 cm. O cateto oposto mede 6 cm e a hipotenusa mede 10 cm.
Questão 8: E = (sen 30° + cos 60°) / tan 45°
sen 30° = 1/2
cos 60° = 1/2
tan 45° = 1
E = (1/2 + 1/2) / 1 = (1) / 1 = 1. O valor da expressão é 1.
Questão 9: Escada (H = 5 m), distância do pé ao muro (CA = 3 m, considerando o ângulo com o solo α).
Queremos sen α = CO / H.
Precisamos do Cateto Oposto (altura no muro). Pitágoras: H² = CO² + CA² 5² = CO² + 3² 25 = CO² + 9 CO² = 25 – 9 = 16 CO = √16 = 4 m.
sen α = CO / H = 4 / 5. O seno do ângulo que a escada forma com o solo é 4/5 ou 0,8.
Questão 10: Avião percorre (H = 2000 m) com ângulo de subida (α = 30°). Queremos a altura (CO).
Usar seno: sen α = CO / H sen 30° = CO / 2000 0,5 = CO / 2000 CO = 0,5 * 2000 = 1000 m. A altura do avião era 1000 metros.
Questão 11: Altura do farol (CO = 40 m), ângulo de depressão = 60°. Queremos a distância do barco à base (CA).
O ângulo de depressão (formado com a horizontal no topo) é igual ao ângulo de elevação (formado com a horizontal na base, α) por serem alternos internos.
Então, α = 60°.
Usar tangente: tan α = CO / CA tan 60° = 40 / CA 1,73 ≈ 40 / CA CA ≈ 40 / 1,73 ≈ 23,12 m. A distância aproximada é 23,12 metros.
Questão 12: Rampa (H = 10 m), ângulo com horizontal (α = 30°). Queremos a altura (CO).
Usar seno: sen α = CO / H sen 30° = CO / 10 0,5 = CO / 10 CO = 0,5 * 10 = 5 m. A pessoa sobe 5 metros de altura.
Questão 13: Deslocamento na margem (CA = 50 m), ângulo medido (α = 60°). Queremos a largura do rio (CO).
Usar tangente: tan α = CO / CA tan 60° = CO / 50 1,73 ≈ CO / 50 CO ≈ 50 * 1,73 = 86,5 m. A largura aproximada do rio é 86,5 metros.
Questão 14: Sombra (CA = 6 m), ângulo dos raios solares com o solo (α = 45°). Queremos a altura do poste (CO).
Usar tangente: tan α = CO / CA tan 45° = CO / 6 1 = CO / 6 CO = 1 * 6 = 6 m. A altura do poste é 6 metros.
Questão 15: Cateto (CA = 9 cm, adjacente ao ângulo que queremos), Hipotenusa (H = 15 cm).
Queremos o cosseno do ângulo adjacente a esse cateto (α).
cos α = CA / H cos α = 9 / 15 (simplificando por 3) cos α = 3 / 5. O cosseno do ângulo é 3/5 ou 0,6.