Exercícios de monômios e polinômios

1. Identifique o coeficiente e a parte literal do monômio 7xy.

Coeficiente: É a parte numérica que multiplica as letras. Neste caso, é 7.
Parte Literal: É a parte formada pelas letras e seus expoentes. Neste caso, é xy.
Resposta: Coeficiente: 7; Parte Literal: xy.

2. Qual é o grau do monômio 5a^3b^2?

Passo 1: Identifique os expoentes de cada variável na parte literal (a^3b^2).
- Expoente de a: 3
- Expoente de b: 2
Passo 2: Some os expoentes das variáveis.
- Grau = 3 + 2 = 5.
Resposta: O grau do monômio é 5.

3. Classifique o polinômio 2x + 5 quanto ao número de termos.

Passo 1: Conte o número de termos (monômios) no polinômio.
- O polinômio 2x + 5 tem dois termos: 2x e 5.
Passo 2: Um polinômio com dois termos é chamado de binômio.
Resposta: É um binômio.

4. Some os monômios: 3ab + 6ab.

Passo 1: Verifique se os monômios são semelhantes (mesma parte literal). Sim, ambos têm a parte literal ab.
Passo 2: Some os coeficientes e mantenha a parte literal.
- Coeficientes: 3 + 6 = 9.
- Parte literal: ab.
Resposta: 9ab.

5. Calcule (4x^2 + 2x – 1) + (x^2 – x + 3). Expresse o resultado na forma mais simples.

Passo 1: Elimine os parênteses (como é uma adição, os sinais se mantêm). 4x^2 + 2x – 1 + x^2 – x + 3
Passo 2: Agrupe os termos semelhantes.
- Termos com x^2: 4x^2 + x^2
- Termos com x: 2x – x
- Termos independentes: -1 + 3
Passo 3: Some os coeficientes dos termos semelhantes.
- (4 + 1)x^2 = 5x^2
- (2 – 1)x = 1x = x
- (-1 + 3) = 2
Resposta: 5x^2 + x + 2.

6. Qual é o coeficiente do monômio -y^4z?

Passo 1: O coeficiente é o número que multiplica a parte literal. Quando não há um número explicitamente escrito e o sinal é negativo, o coeficiente é -1.
Resposta: O coeficiente é -1.

7. Determine o grau do polinômio 6x^4 – 2x^3y^2 + 5y – 10.

Passo 1: Calcule o grau de cada termo do polinômio.
- Termo 6x^4: grau 4 (expoente do x é 4).
- Termo -2x^3y^2: grau 3 + 2 = 5 (soma dos expoentes de x e y).
- Termo 5y (ou 5y^1): grau 1 (expoente do y é 1).
- Termo -10 (constante): grau 0.
Passo 2: O grau do polinômio é o maior grau encontrado entre seus termos.
- Os graus são 4, 5, 1, 0. O maior é 5.
Resposta: O grau do polinômio é 5.

8. Escreva um exemplo de trinômio de grau 2.

Passo 1: Um trinômio tem três termos.
Passo 2: O grau do polinômio deve ser 2, o que significa que o termo de maior grau deve ter grau 2.
Exemplos possíveis:
- x^2 + 3x – 4 (o termo x^2 tem grau 2, 3x tem grau 1, -4 tem grau 0. Maior grau é 2. Tem 3 termos.)
- 5a^2 – ab + 7 (o termo 5a^2 tem grau 2, -ab tem grau 1+1=2, 7 tem grau 0. Maior grau é 2. Tem 3 termos.)
- -y^2 + 10y + 1
Resposta: Um exemplo é x^2 + 3x – 4.

9. Calcule (7a^2b – 3ab^2 + 2ab) – (4a^2b + ab^2 – ab). Expresse o resultado na forma mais simples.

Passo 1: Elimine os parênteses, trocando os sinais de todos os termos do segundo polinômio (o que está sendo subtraído). 7a^2b – 3ab^2 + 2ab – 4a^2b – ab^2 + ab
Passo 2: Agrupe os termos semelhantes.
- Termos com a^2b: 7a^2b – 4a^2b
- Termos com ab^2: -3ab^2 – ab^2
- Termos com ab: 2ab + ab
Passo 3: Some os coeficientes dos termos semelhantes.
- (7 – 4)a^2b = 3a^2b
- (-3 – 1)ab^2 = -4ab^2
- (2 + 1)ab = 3ab
Resposta: 3a^2b – 4ab^2 + 3ab.

10. Multiplique o monômio 2x pelo polinômio (3x^2 – 5x + 1).

Passo 1: Use a propriedade distributiva: multiplique 2x por cada termo do polinômio.
- (2x) * (3x^2)
- (2x) * (-5x)
- (2x) * (+1)
Passo 2: Realize cada multiplicação de monômios.
- (2 3) (x^1 x^2) = 6 x^(1+2) = 6x^3
- (2 -5) (x^1 x^1) = -10 x^(1+1) = -10x^2
- (2 1) x = 2x
Passo 3: Some os resultados.
Resposta: 6x^3 – 10x^2 + 2x.

11. Multiplique os polinômios (x + 4) por (x – 2).

Passo 1: Use a propriedade distributiva (cada termo do primeiro por cada termo do segundo).
- x * x = x^2
- x * (-2) = -2x
- +4 * x = +4x
- +4 * (-2) = -8
Passo 2: Some todos os produtos obtidos. x^2 – 2x + 4x – 8
Passo 3: Reduza os termos semelhantes (-2x e +4x). x^2 + (-2 + 4)x – 8 = x^2 + 2x – 8
Resposta: x^2 + 2x – 8.

12. Divida o polinômio (10a^3b^2 – 15a^2b^3 + 5ab) pelo monômio 5ab (considere a e b diferentes de zero).

Passo 1: Divida cada termo do polinômio pelo monômio 5ab.
- (10a^3b^2) / (5ab)
- (-15a^2b^3) / (5ab)
- (+5ab) / (5ab)
Passo 2: Realize cada divisão de monômios.
- (10/5) a^(3-1) b^(2-1) = 2 a^2 b^1 = 2a^2b
- (-15/5) a^(2-1) b^(3-1) = -3 a^1 b^2 = -3ab^2
- (5/5) a^(1-1) b^(1-1) = 1 a^0 b^0 = 1 1 1 = 1
Passo 3: Some os quocientes.
Resposta: 2a^2b – 3ab^2 + 1.

13. Se um retângulo tem lados medindo 2x e 3x + 1, qual é o polinômio que representa seu perímetro?

Passo 1: O perímetro de um retângulo é a soma de todos os seus quatro lados. Se os lados são L1 = 2x e L2 = 3x + 1, então o perímetro P = L1 + L2 + L1 + L2. P = 2x + (3x + 1) + 2x + (3x + 1)
Passo 2: Elimine os parênteses e agrupe os termos semelhantes. P = 2x + 3x + 1 + 2x + 3x + 1 P = (2x + 3x + 2x + 3x) + (1 + 1)
Passo 3: Some os coeficientes dos termos semelhantes. P = (2+3+2+3)x + (1+1) P = 10x + 2
Resposta: O polinômio que representa o perímetro é 10x + 2.

14. Se o mesmo retângulo do item anterior tem lados 2x e 3x + 1, qual é o polinômio que representa sua área?

Passo 1: A área de um retângulo é dada pela multiplicação da medida da base pela medida da altura. Vamos considerar os lados 2x e 3x + 1. Área = (2x) * (3x + 1)
Passo 2: Use a propriedade distributiva para multiplicar o monômio pelo polinômio. Área = (2x 3x) + (2x 1)
Passo 3: Realize as multiplicações. Área = 6x^2 + 2x
Resposta: O polinômio que representa a área é 6x^2 + 2x.

15. Dado o polinômio P(y) = y^2 – 3y + 7, qual é o valor numérico de P(y) quando y = 2?

Passo 1: Para encontrar o valor numérico, substituímos a variável y pelo valor dado, que é 2, em todas as ocorrências de y no polinômio. P(2) = (2)^2 – 3*(2) + 7
Passo 2: Realize as operações na ordem correta (primeiro potências, depois multiplicações, depois somas e subtrações).
- (2)^2 = 4
- 3 * (2) = 6 Então, P(2) = 4 – 6 + 7
Passo 3: Calcule o resultado final. P(2) = -2 + 7 P(2) = 5
Resposta: O valor numérico de P(y) quando y = 2 é 5.

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