Dado o diagrama de flechas abaixo, representando uma relação entre os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}:
-1 → 1
0 → 0
1 → 1
2 → 4
a) Esta relação representa uma função de A em B? Justifique. b) Se for uma função, identifique o Domínio, o Contradomínio e a Imagem.
Dada a função f(x) = 3x – 2, calcule: a) f(2) b) f(0) c) f(-1) d) O valor de x para o qual f(x) = 7.
Considere a função g: R → R definida por g(x) = -4x + 8.
a) Qual é o coeficiente angular?
b) Qual é o coeficiente linear?
c) A função é crescente ou decrescente? Justifique.
d) Qual é a raiz (ou zero) da função?
e) Em qual ponto o gráfico da função corta o eixo y?
Observe o gráfico de uma função h(x) abaixo:
(Imagine um gráfico de uma função afim decrescente que passa pelos pontos (0, 4) e (2, 0)).
a) Qual é o valor de h(0)?
b) Qual é a raiz da função h(x)?
c) A função é crescente ou decrescente?
d) Determine a lei de formação (fórmula) da função h(x).
Dada a função quadrática f(x) = x² – 6x + 5.
a) Quais são os coeficientes a, b e c?
b) A parábola que representa o gráfico dessa função tem concavidade voltada para cima ou para baixo? Justifique.
c) Calcule as raízes (zeros) da função, se existirem. d) Calcule as coordenadas do vértice da parábola.
Identifique quais das seguintes leis de formação representam uma função linear:
a) f(x) = 5x
b) g(x) = x + 3
c) h(x) = -2x
d) k(x) = 7 e) m(x) = x/3
Analise o gráfico de uma função f(x) abaixo:
(Imagine um gráfico que começa em (-4, -2), sobe até (-1, 3), fica constante até (2, 3) e depois desce, cortando o eixo x em (4, 0))
a) Qual o domínio da função representado no gráfico?
b) Qual a imagem da função representado no gráfico?
c) Em quais intervalos a função é crescente?
d) Em quais intervalos a função é decrescente?
e) Em qual intervalo a função é constante?
f) Quais são as raízes da função?
Uma locadora de bicicletas cobra R$ 10,00 pela primeira hora e R$ 6,00 por cada hora adicional.
a) Escreva a função C(t) que representa o custo total do aluguel em função do número de horas adicionais (t) após a primeira hora.
b) Qual o custo para alugar uma bicicleta por 3 horas no total? (Dica: 3 horas no total = 1 hora inicial + 2 horas adicionais).
Pedro recebe um salário fixo de R$ 1200,00 mais uma comissão de R$ 50,00 por cada produto que vende.
a) Escreva a função S(p) que representa o salário total de Pedro em função do número de produtos (p) vendidos. b) Se Pedro vender 15 produtos em um mês, qual será seu salário?
A temperatura T (em graus Celsius) de um forno varia em função do tempo t (em minutos) de acordo com a função T(t) = -0,5t² + 20t + 25, para 0 ≤ t ≤ 40. a) Qual a temperatura inicial do forno (t=0)? b) Qual a temperatura do forno após 10 minutos? c) Esta função representa uma parábola com concavidade para cima ou para baixo?
O preço P de venda de um livro é dado pela função P(x) = 20 + 0,5x, onde x é o número de páginas.
a) Qual o preço de um livro com 200 páginas?
b) Se um livro custa R$ 35,00, quantas páginas ele tem?
c) Qual o significado do coeficiente linear (20) e do coeficiente angular (0,5) nesta situação?
Um táxi cobra R$ 5,00 de bandeirada (valor fixo inicial) mais R$ 2,50 por quilômetro rodado (k).
a) Escreva a função V(k) que representa o valor total da corrida em função dos quilômetros rodados.
b) Quanto custará uma corrida de 8 km?
Uma pequena empresa estima que seu lucro L (em reais) na venda de x unidades de um certo produto é dado pela função L(x) = -x² + 100x – 900.
a) Qual o lucro se a empresa vender 10 unidades?
b) Qual o lucro se a empresa vender 50 unidades?
c) Quantas unidades a empresa precisa vender para ter o lucro máximo? (Dica: O lucro máximo ocorre no x do vértice da parábola).
O nível da água N (em metros) de um reservatório varia ao longo do dia t (em horas, a partir da meia-noite) segundo a função N(t) = 0,1t + 5, para 0 ≤ t ≤ 24. a) Qual o nível da água às 8 horas da manhã (t=8)? b) Em que instante o nível da água atingirá 6,2 metros? c) O nível da água está aumentando ou diminuindo ao longo do dia? Justifique usando a função.
Exercícios de Funções
Resolva os Exercícios de Funções
Veja as Respostas detalhadas dos Exercícios de Funções
Questão 1:
a) Sim, esta relação representa uma função de A em B. Justificativa: Cada elemento do conjunto A (Domínio) está associado a exatamente um elemento do conjunto B (Contradomínio). Do -1 sai uma única flecha, do 0 sai uma única flecha, do 1 sai uma única flecha e do 2 sai uma única flecha. b)
Domínio (D): É o conjunto de partida A. D = {-1, 0, 1, 2}.
Contradomínio (CD): É o conjunto de chegada B. CD = {0, 1, 2, 3, 4}.
Imagem (Im): São os elementos de B que recebem flechas. Im = {0, 1, 4}.
Questão 2: Dada f(x) = 3x – 2:
a) f(2) = 3 (2) – 2 = 6 – 2 = 4
b) f(0) = 3 (0) – 2 = 0 – 2 = -2
c) f(-1) = 3 * (-1) – 2 = -3 – 2 = -5
d) Para f(x) = 7, temos: 3x – 2 = 7 → 3x = 7 + 2 → 3x = 9 → x = 9 / 3 → x = 3.
Questão 3: Dada g(x) = -4x + 8:
a) A função é da forma g(x) = ax + b. Comparando, temos a = -4 (coeficiente angular).
b) Comparando com g(x) = ax + b, temos b = 8 (coeficiente linear).
c) A função é decrescente, pois o coeficiente angular a = -4 é negativo (a < 0).
d) A raiz é o valor de x para o qual g(x) = 0. -4x + 8 = 0 → -4x = -8 → 4x = 8 → x = 8 / 4 → x = 2.
e) O gráfico corta o eixo y no ponto onde x = 0. g(0) = -4(0) + 8 = 8. O ponto é (0, 8), que corresponde ao coeficiente linear b.
Questão 4: Observando o gráfico (reta decrescente passando por (0, 4) e (2, 0)):
a) h(0) é o valor de y quando x=0. Pelo gráfico, o ponto é (0, 4). Portanto, h(0) = 4.
b) A raiz é o valor de x onde o gráfico corta o eixo x. Pelo gráfico, o ponto é (2, 0). Portanto, a raiz é x = 2.
c) A função é decrescente, pois a reta desce da esquerda para a direita.
d) A função é afim, da forma h(x) = ax + b. Sabemos que b = h(0) = 4 (coeficiente linear). Então, h(x) = ax + 4. Usamos o outro ponto (2, 0): h(2) = 0. a(2) + 4 = 0 → 2a = -4 → a = -4 / 2 → a = -2. Portanto, a lei de formação é h(x) = -2x + 4.
Questão 5: Dada f(x) = x² – 6x + 5:
a) Comparando com f(x) = ax² + bx + c, temos a = 1, b = -6, c = 5.
b) A concavidade é voltada para cima, pois o coeficiente a = 1 é positivo (a > 0).
c) Para encontrar as raízes, resolvemos f(x) = 0, ou seja, x² – 6x + 5 = 0. Usando Bhaskara: Δ = b² – 4ac = (-6)² – 4(1)(5) = 36 – 20 = 16. x = [-b ± √Δ] / 2a = [-(-6) ± √16] / 2(1) = [6 ± 4] / 2. x₁ = (6 + 4) / 2 = 10 / 2 = 5 x₂ = (6 – 4) / 2 = 2 / 2 = 1 As raízes são x = 1 e x = 5.
d) As coordenadas do vértice (Vx, Vy) são dadas por: Vx = -b / 2a = -(-6) / 2(1) = 6 / 2 = 3. Vy = -Δ / 4a = -16 / 4(1) = -16 / 4 = -4. (Alternativamente, Vy = f(Vx) = f(3) = 3² – 6(3) + 5 = 9 – 18 + 5 = -4). O vértice é V = (3, -4).
Questão 6: Uma função linear é um caso particular da função afim (f(x) = ax + b) onde b = 0. Sua forma é f(x) = ax, com a ≠ 0. Analisando as opções:
a) f(x) = 5x: Sim (a=5, b=0).
b) g(x) = x + 3: Não (b=3 ≠ 0, é afim mas não linear).
c) h(x) = -2x: Sim (a=-2, b=0). d) k(x) = 7: Não (a=0, é constante). e) m(x) = x/3 = (1/3)x: Sim (a=1/3, b=0). As funções lineares são: a), c), e).
Questão 7: Analisando o gráfico:
a) Domínio: Valores de x cobertos pelo gráfico. Vai de x=-4 até x=4 (aproximadamente, dependendo do desenho exato da descida final). Considerando o desenho descrito: D = [-4, 4] (intervalo fechado).
b) Imagem: Valores de y cobertos pelo gráfico. O valor mínimo é y=-2 e o máximo é y=3. Im = [-2, 3].
c) Crescente: Onde o gráfico sobe da esquerda para a direita. No intervalo [-4, -1].
d) Decrescente: Onde o gráfico desce da esquerda para a direita. No intervalo [2, 4]. e) Constante: Onde o gráfico é horizontal. No intervalo [-1, 2]. f) Raízes: Onde o gráfico corta o eixo x. Pelo gráfico, a raiz é x = 4.
Questão 8:
a) O custo tem uma parte fixa (R$ 10,00 pela primeira hora) e uma parte variável (R$ 6,00 por hora adicional t). A função custo C(t) para t horas adicionais é C(t) = Custo Fixo Total + Custo Variável = 10 + 6t. C(t) = 6t + 10 (para t ≥ 0, onde t é o número de horas adicionais).
b) Alugar por 3 horas no total significa 1 hora inicial + 2 horas adicionais. Então, t = 2. C(2) = 6 * (2) + 10 = 12 + 10 = R$ 22,00. O custo para alugar por 3 horas é R$ 22,00.
Questão 9:
a) O salário S(p) tem uma parte fixa (R$ 1200,00) e uma parte variável (R$ 50,00 por produto p). A função é S(p) = Parte Fixa + Parte Variável = 1200 + 50p. S(p) = 50p + 1200.
b) Se Pedro vender 15 produtos, p = 15. S(15) = 50 * (15) + 1200 = 750 + 1200 = R$ 1950,00. O salário será R$ 1950,00.
Questão 10: Dada T(t) = -0,5t² + 20t + 25:
a) A temperatura inicial ocorre em t=0. T(0) = -0,5(0)² + 20(0) + 25 = 0 + 0 + 25 = 25. A temperatura inicial é 25°C.
b) Após 10 minutos, t = 10. T(10) = -0,5(10)² + 20(10) + 25 = -0,5(100) + 200 + 25 = -50 + 200 + 25 = 175. A temperatura após 10 minutos é 175°C.
c) A função é quadrática (ax² + bx + c). O coeficiente a = -0,5. Como a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo.
Questão 11: Dada P(x) = 20 + 0,5x:
a) Para um livro com 200 páginas, x = 200. P(200) = 20 + 0,5 * (200) = 20 + 100 = R$ 120,00. O preço é R$ 120,00.
b) Se o preço é R$ 35,00, P(x) = 35. 20 + 0,5x = 35 → 0,5x = 35 – 20 → 0,5x = 15 → x = 15 / 0,5 → x = 30. O livro tem 30 páginas. c)
Coeficiente linear (b = 20): Representa o custo fixo ou inicial do livro, independente do número de páginas. Pode ser o custo da capa, encadernação, etc. É o preço se o livro tivesse 0 páginas (P(0)=20).
Coeficiente angular (a = 0,5): Representa o custo adicional por cada página do livro (R$ 0,50 por página).
Questão 12:
a) O valor V(k) tem uma parte fixa (R$ 5,00) e uma parte variável (R$ 2,50 por km k). A função é V(k) = Parte Fixa + Parte Variável = 5 + 2,50k. V(k) = 2,5k + 5.
b) Para uma corrida de 8 km, k = 8. V(8) = 2,5 * (8) + 5 = 20 + 5 = R$ 25,00. A corrida custará R$ 25,00.
Questão 13: Dada L(x) = -x² + 100x – 900:
a) Se vender 10 unidades, x = 10. L(10) = -(10)² + 100(10) – 900 = -100 + 1000 – 900 = 0. O lucro é R$ 0,00.
b) Se vender 50 unidades, x = 50. L(50) = -(50)² + 100(50) – 900 = -2500 + 5000 – 900 = 1600. O lucro é R$ 1600,00.
c) O lucro máximo ocorre no x do vértice (Vx) da parábola L(x) = ax² + bx + c. Aqui, a = -1, b = 100, c = -900. Vx = -b / 2a = -(100) / 2(-1) = -100 / -2 = 50. A empresa precisa vender 50 unidades para ter o lucro máximo.
Questão 14: Dada N(t) = 0,1t + 5:
a) Às 8 horas da manhã, t = 8. N(8) = 0,1 * (8) + 5 = 0,8 + 5 = 5,8. O nível da água é 5,8 metros.
b) Queremos saber t quando N(t) = 6,2. 0,1t + 5 = 6,2 → 0,1t = 6,2 – 5 → 0,1t = 1,2 → t = 1,2 / 0,1 → t = 12. O nível atingirá 6,2 metros no instante t = 12 horas (meio-dia).
c) A função N(t) = 0,1t + 5 é uma função afim com coeficiente angular a = 0,1. Como a > 0, a função é crescente. Portanto, o nível da água está aumentando ao longo do dia.