Identifique os coeficientes a, b e c na equação 3x² – 7x + 2 = 0.
Quais são os coeficientes a, b e c na equação x² – 9 = 0?
Classifique as seguintes equações como completas ou incompletas: a) 5x² – 10x = 0 b) x² + 4x – 5 = 0 c) -2x² + 8 = 0 d) x² = 0
Resolva a equação incompleta 4x² – 100 = 0.
Encontre as raízes da equação incompleta 2x² + 8x = 0.
Calcule o valor do discriminante (Δ) para a equação x² + 6x + 5 = 0.
Usando a Fórmula de Bhaskara, encontre as raízes da equação x² – 4x + 3 = 0.
Sem resolver a equação, determine quantas raízes reais a equação 2x² + 3x + 4 = 0 possui, analisando o valor do discriminante (Δ).
Resolva a equação completa 2x² – 5x – 3 = 0 utilizando a Fórmula de Bhaskara.
Encontre o conjunto solução da equação x² + 2x + 1 = 0.
As raízes da equação x² – 7x + 10 = 0 são 2 e 5. Verifique se a soma (x₁ + x₂) e o produto (x₁ * x₂) dessas raízes correspondem às relações de Girard (-b/a e c/a).
Encontre as coordenadas do vértice (Xv, Yv) da parábola representada pela função f(x) = x² – 6x + 8.
A área de um retângulo é 48 cm². Sabe-se que o comprimento é 2 cm maior que a largura. Quais são as dimensões do retângulo? (Dica: Chame a largura de ‘x’ e monte a equação da área).
O produto de dois números inteiros consecutivos é 72. Quais são esses números? (Dica: Chame um número de ‘n’ e o consecutivo de ‘n+1’).
Exercícios de Equações do segundo grau
Resolva os Exercícios de Equações do segundo grau
Veja as Respostas detalhadas dos Exercícios de Equações do segundo grau
Questão 1: Identifique os coeficientes a, b e c na equação 3x² – 7x + 2 = 0.
Resolução:
A equação do segundo grau tem a forma geral ax² + bx + c = 0.
Comparando 3x² – 7x + 2 = 0 com a forma geral:
O coeficiente que acompanha x² é a = 3.
O coeficiente que acompanha x é b = -7.
O termo independente (sem x) é c = 2.
Questão 2: Quais são os coeficientes a, b e c na equação x² – 9 = 0?
Resolução:
A forma geral é ax² + bx + c = 0.
A equação dada é x² – 9 = 0. Podemos reescrevê-la como 1x² + 0x – 9 = 0 para visualizar todos os termos.
Comparando com a forma geral:
a = 1 (quando não há número explícito antes do x², o coeficiente é 1).
b = 0 (não há termo com x, então seu coeficiente é 0).
c = -9.
Questão 3: Classifique as seguintes equações como completas ou incompletas: a) 5x² – 10x = 0 b) x² + 4x – 5 = 0 c) -2x² + 8 = 0 d) x² = 0
Resolução:
Uma equação do segundo grau (ax² + bx + c = 0) é completa se todos os coeficientes (a, b, c) são diferentes de zero (lembrando que ‘a’ nunca pode ser zero).
É incompleta se b = 0 ou c = 0 (ou ambos).
a) 5x² – 10x = 0: Aqui, a=5, b=-10, c=0. Como c=0, a equação é incompleta.
b) x² + 4x – 5 = 0: Aqui, a=1, b=4, c=-5. Todos os coeficientes são diferentes de zero. A equação é completa.
c) -2x² + 8 = 0: Aqui, a=-2, b=0, c=8. Como b=0, a equação é incompleta.
d) x² = 0: Aqui, a=1, b=0, c=0. Como b=0 e c=0, a equação é incompleta.
Questão 4: Resolva a equação incompleta 4x² – 100 = 0.
Resolução:
Esta é uma equação incompleta com b = 0.
Isolar o termo com x²: 4x² = 100
Isolar x²: x² = 100 / 4 => x² = 25
Extrair a raiz quadrada: x = ±√25
Raízes: x = 5 ou x = -5.
Conjunto Solução: S = {-5, 5}
Questão 5: Encontre as raízes da equação incompleta 2x² + 8x = 0.
Resolução:
Esta é uma equação incompleta com c = 0.
Colocar ‘x’ em evidência: x(2x + 8) = 0
Um produto é zero se um dos fatores for zero:
x = 0
OU
2x + 8 = 0
Resolver o segundo fator: 2x = -8 => x = -8 / 2 => x = -4
Raízes: x = 0 ou x = -4.
Conjunto Solução: S = {-4, 0}
Questão 6: Calcule o valor do discriminante (Δ) para a equação x² + 6x + 5 = 0.
Resolução:
A fórmula do discriminante é Δ = b² – 4ac.
Identificar os coeficientes: a = 1, b = 6, c = 5.
Substituir na fórmula: Δ = (6)² – 4 (1) (5)
Calcular: Δ = 36 – 20
Resultado: Δ = 16.
Questão 7: Usando a Fórmula de Bhaskara, encontre as raízes da equação x² – 4x + 3 = 0.
Resolução:
Identificar coeficientes: a = 1, b = -4, c = 3.
Calcular o discriminante (Δ): Δ = b² – 4ac = (-4)² – 4 (1) (3) = 16 – 12 = 4.
Aplicar a Fórmula de Bhaskara: x = [-b ± √Δ] / 2a
x = [-(-4) ± √4] / (2 * 1)
x = [4 ± 2] / 2
Calcular as duas raízes:
x₁ = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3
x₂ = (4 – 2) / 2 = 2 / 2 = 1
Conjunto Solução: S = {1, 3}
Questão 8: Sem resolver a equação, determine quantas raízes reais a equação 2x² + 3x + 4 = 0 possui, analisando o valor do discriminante (Δ).
Resolução:
Identificar coeficientes: a = 2, b = 3, c = 4.
Calcular o discriminante (Δ): Δ = b² – 4ac = (3)² – 4 (2) (4) = 9 – 32 = -23.
Analisar o sinal de Δ:
Como Δ = -23, que é um valor negativo (Δ < 0), a equação não possui raízes reais.
Questão 9: Resolva a equação completa 2x² – 5x – 3 = 0 utilizando a Fórmula de Bhaskara.
Resolução:
Identificar coeficientes: a = 2, b = -5, c = -3.
Calcular o discriminante (Δ): Δ = b² – 4ac = (-5)² – 4 (2) (-3) = 25 – (-24) = 25 + 24 = 49.
Aplicar a Fórmula de Bhaskara: x = [-b ± √Δ] / 2a
x = [-(-5) ± √49] / (2 * 2)
x = [5 ± 7] / 4
Calcular as duas raízes:
x₁ = (5 + 7) / 4 = 12 / 4 = 3
x₂ = (5 – 7) / 4 = -2 / 4 = -1/2
Conjunto Solução: S = {-1/2, 3}
Questão 10: Encontre o conjunto solução da equação x² + 2x + 1 = 0.
Resolução:
Identificar coeficientes: a = 1, b = 2, c = 1.
Calcular o discriminante (Δ): Δ = b² – 4ac = (2)² – 4 (1) (1) = 4 – 4 = 0.
Analisar o Δ: Como Δ = 0, a equação possui uma raiz real dupla (ou duas raízes reais iguais).
Aplicar a Fórmula de Bhaskara (ou a fórmula simplificada x = -b/2a):
x = [-b ± √Δ] / 2a = [-2 ± √0] / (2 * 1) = -2 / 2 = -1
Conjunto Solução: S = {-1}
Questão 11: As raízes da equação x² – 7x + 10 = 0 são 2 e 5. Verifique se a soma (x₁ + x₂) e o produto (x₁ * x₂) dessas raízes correspondem às relações de Girard (-b/a e c/a).
Resolução:
Identificar coeficientes: a = 1, b = -7, c = 10.
Raízes dadas: x₁ = 2, x₂ = 5.
Calcular a soma das raízes dadas: S = x₁ + x₂ = 2 + 5 = 7.
Calcular a soma usando a relação de Girard: S = -b/a = -(-7)/1 = 7.
Comparar as somas: 7 = 7. A relação da soma está correta.
Calcular o produto das raízes dadas: P = x₁ x₂ = 2 5 = 10.
Calcular o produto usando a relação de Girard: P = c/a = 10/1 = 10.
Comparar os produtos: 10 = 10. A relação do produto está correta.
Conclusão: As relações de Girard foram verificadas com sucesso para as raízes dadas.
Questão 12: Encontre as coordenadas do vértice (Xv, Yv) da parábola representada pela função f(x) = x² – 6x + 8.
Resolução:
Identificar coeficientes: a = 1, b = -6, c = 8.
Calcular a coordenada X do vértice (Xv): Xv = -b / 2a = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3.
Calcular a coordenada Y do vértice (Yv):
Método 1: Usando a fórmula Yv = -Δ / 4a.
Calcular Δ: Δ = b² – 4ac = (-6)² – 4 (1) (8) = 36 – 32 = 4.
Calcular Yv: Yv = -4 / (4 * 1) = -4 / 4 = -1.
Método 2: Substituindo Xv na função f(x).
Yv = f(Xv) = f(3) = (3)² – 6*(3) + 8 = 9 – 18 + 8 = -1.
Coordenadas do Vértice: V = (3, -1).
Questão 13: A área de um retângulo é 48 cm². Sabe-se que o comprimento é 2 cm maior que a largura. Quais são as dimensões do retângulo?
Resolução:
Definir variáveis: Seja ‘x’ a largura do retângulo (em cm).
O comprimento é 2 cm maior que a largura, então o comprimento é ‘x + 2’.
Montar a equação da área: Área = Largura * Comprimento
48 = x * (x + 2)
Desenvolver a equação: 48 = x² + 2x
Organizar na forma geral da equação do segundo grau: x² + 2x – 48 = 0.
Resolver a equação (usando Bhaskara):
a = 1, b = 2, c = -48
Δ = b² – 4ac = (2)² – 4 (1) (-48) = 4 – (-192) = 4 + 192 = 196.
x = [-b ± √Δ] / 2a = [-2 ± √196] / (2 * 1) = [-2 ± 14] / 2.
x₁ = (-2 + 14) / 2 = 12 / 2 = 6.
x₂ = (-2 – 14) / 2 = -16 / 2 = -8.
Interpretar o resultado: Como ‘x’ representa a largura, que é uma medida de comprimento, ela não pode ser negativa. Portanto, descartamos x = -8.
A largura é x = 6 cm.
O comprimento é x + 2 = 6 + 2 = 8 cm.
Dimensões: Largura = 6 cm, Comprimento = 8 cm.
Verificação: Área = 6 * 8 = 48 cm² (correto).
Questão 14: O produto de dois números inteiros consecutivos é 72. Quais são esses números?
Resolução:
Definir variáveis: Seja ‘n’ o primeiro número inteiro.
O número inteiro consecutivo é ‘n + 1’.
Montar a equação do produto: n * (n + 1) = 72.
Desenvolver a equação: n² + n = 72.
Organizar na forma geral: n² + n – 72 = 0.
Resolver a equação (usando Bhaskara):
a = 1, b = 1, c = -72
Δ = b² – 4ac = (1)² – 4 (1) (-72) = 1 – (-288) = 1 + 288 = 289.
n = [-b ± √Δ] / 2a = [-1 ± √289] / (2 * 1) = [-1 ± 17] / 2.
n₁ = (-1 + 17) / 2 = 16 / 2 = 8.
n₂ = (-1 – 17) / 2 = -18 / 2 = -9.
Encontrar os pares de números consecutivos:
Se n = 8, o consecutivo é n + 1 = 8 + 1 = 9. O par é (8, 9). (Verificação: 8 * 9 = 72)
Se n = -9, o consecutivo é n + 1 = -9 + 1 = -8. O par é (-9, -8). (Verificação: (-9) * (-8) = 72)
Resposta: Os números podem ser 8 e 9 ou -9 e -8.