Exercícios de produtos notáveis
Resolva os Exercícios de produtos notáveis
Resolva os seguintes exercícios aplicando as fórmulas dos Produtos Notáveis:
1.Calcule (x + 5)²
2.Calcule (2a – 3)²
3.Calcule (y + 7)(y – 7)
4.Calcule (m + 4)³
5.Calcule (2x – 1)³
6.Desenvolva (3b + 2c)²
7.Desenvolva (4x – 5y)²
8.Desenvolva (a² + b³)(a² – b³)
9.Desenvolva (x + 1/2)³
10.Desenvolva (3y – 2/3)³
11.Simplifique a expressão: (x + 2)² – (x – 2)²
12.Simplifique a expressão: (a + b)² + (a – b)²
13.Fatore a expressão: 9x² – 16y²
14.Fatore a expressão: 25a² + 20ab + 4b²
15.Fatore a expressão: y² – 14y + 49
16.Calcule o valor de (100 + 3)² utilizando Produtos Notáveis.
17.Calcule o valor de (50 – 1)² utilizando Produtos Notáveis.
18.Calcule o valor de 48 * 52 utilizando Produtos Notáveis.
19.Se x + y = 7 e xy = 10, qual é o valor de x² + y²?
20.Se a – b = 5 e ab = 6, qual é o valor de a² + b²?
Veja as Respostas detalhadas dos Exercícios de produtos notáveis
Aqui estão as resoluções passo a passo para cada um dos exercícios propostos, utilizando as fórmulas dos Produtos Notáveis.
1. Calcule (x + 5)²
Utilizando a fórmula do Quadrado da Soma: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Onde a = x e b = 5.
(x + 5)² = x² + 2 * x * 5 + 5² (x + 5)² = x² + 10x + 25
2. Calcule (2a – 3)²
Utilizando a fórmula do Quadrado da Diferença: (a – b)² = a² – 2ab + b²
Onde a = 2a e b = 3.
(2a – 3)² = (2a)² – 2 * (2a) * 3 + 3² (2a – 3)² = 4a² – 12a + 9
3. Calcule (y + 7)(y – 7)
Utilizando a fórmula do Produto da Soma pela Diferença: (a + b)(a – b) = a² – b²
Onde a = y e b = 7.
(y + 7)(y – 7) = y² – 7² (y + 7)(y – 7) = y² – 49
4. Calcule (m + 4)³
Utilizando a fórmula do Cubo da Soma: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Onde a = m e b = 4.
(m + 4)³ = m³ + 3 * m² * 4 + 3 * m * 4² + 4³ (m + 4)³ = m³ + 12m² + 3 * m * 16 + 64 (m + 4)³ = m³ + 12m² + 48m + 64
5. Calcule (2x – 1)³
Utilizando a fórmula do Cubo da Diferença: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Onde a = 2x e b = 1.
(2x – 1)³ = (2x)³ – 3 * (2x)² * 1 + 3 * (2x) * 1² – 1³ (2x – 1)³ = 8x³ – 3 * 4x² * 1 + 3 * 2x * 1 – 1 (2x – 1)³ = 8x³ – 12x² + 6x – 1
6. Desenvolva (3b + 2c)²
Utilizando a fórmula do Quadrado da Soma: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Onde a = 3b e b = 2c.
(3b + 2c)² = (3b)² + 2 * (3b) * (2c) + (2c)² (3b + 2c)² = 9b² + 12bc + 4c²
7. Desenvolva (4x – 5y)²
Utilizando a fórmula do Quadrado da Diferença: (a – b)² = a² – 2ab + b²
Onde a = 4x e b = 5y.
(4x – 5y)² = (4x)² – 2 * (4x) * (5y) + (5y)² (4x – 5y)² = 16x² – 40xy + 25y²
8. Desenvolva (a² + b³)(a² – b³)
Utilizando a fórmula do Produto da Soma pela Diferença: (a + b)(a – b) = a² – b²
Onde a = a² e b = b³.
(a² + b³)(a² – b³) = (a²)² – (b³)² (a² + b³)(a² – b³) = a⁴ – b⁶
9. Desenvolva (x + 1/2)³
Utilizando a fórmula do Cubo da Soma: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Onde a = x e b = 1/2.
(x + 1/2)³ = x³ + 3 * x² * (1/2) + 3 * x * (1/2)² + (1/2)³ (x + 1/2)³ = x³ + (3/2)x² + 3 * x * (1/4) + 1/8 (x + 1/2)³ = x³ + (3/2)x² + (3/4)x + 1/8
10. Desenvolva (3y – 2/3)³
Utilizando a fórmula do Cubo da Diferença: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Onde a = 3y e b = 2/3.
(3y – 2/3)³ = (3y)³ – 3 * (3y)² * (2/3) + 3 * (3y) * (2/3)² – (2/3)³ (3y – 2/3)³ = 27y³ – 3 * 9y² * (2/3) + 3 * (3y) * (4/9) – 8/27 (3y – 2/3)³ = 27y³ – 18y² + 4y – 8/27
11. Simplifique a expressão: (x + 2)² – (x – 2)²
Primeiro, desenvolva cada termo separadamente:
(x + 2)² = x² + 2 * x * 2 + 2² = x² + 4x + 4 (x – 2)² = x² – 2 * x * 2 + 2² = x² – 4x + 4
Agora, subtraia o segundo do primeiro:
(x² + 4x + 4) – (x² – 4x + 4) = x² + 4x + 4 – x² + 4x – 4 = (x² – x²) + (4x + 4x) + (4 – 4) = 0 + 8x + 0 = 8x
Alternativamente, reconheça o padrão da Diferença de Quadrados: A² – B² = (A + B)(A – B)
Onde A = (x + 2) e B = (x – 2).
[(x + 2) + (x – 2)][(x + 2) – (x – 2)] = [x + 2 + x – 2][x + 2 – x + 2] = [2x][4] = 8x
12. Simplifique a expressão: (a + b)² + (a – b)²
Desenvolva cada termo separadamente:
(a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b²
Agora, some os dois resultados:
(a² + 2ab + b²) + (a² – 2ab + b²) = a² + 2ab + b² + a² – 2ab + b² = (a² + a²) + (2ab – 2ab) + (b² + b²) = 2a² + 0 + 2b² = 2a² + 2b²
13. Fatore a expressão: 9x² – 16y²
Reconheça o padrão da Diferença de Quadrados: a² – b² = (a + b)(a – b)
Onde a² = 9x² => a = √(9x²) = 3x E b² = 16y² => b = √(16y²) = 4y
Então, 9x² – 16y² = (3x + 4y)(3x – 4y)
14. Fatore a expressão: 25a² + 20ab + 4b²
Reconheça o padrão do Trinômio Quadrado Perfeito (Quadrado da Soma): a² + 2ab + b² = (a + b)²
Verifique se o primeiro e o último termos são quadrados perfeitos: √(25a²) = 5a √(4b²) = 2b
Verifique se o termo do meio é o dobro do produto das raízes: 2 * (5a) * (2b) = 20ab
Como todos os critérios são atendidos, a expressão é um Trinômio Quadrado Perfeito.
Então, 25a² + 20ab + 4b² = (5a + 2b)²
15. Fatore a expressão: y² – 14y + 49
Reconheça o padrão do Trinômio Quadrado Perfeito (Quadrado da Diferença): a² – 2ab + b² = (a – b)²
Verifique se o primeiro e o último termos são quadrados perfeitos: √(y²) = y √(49) = 7
Verifique se o termo do meio é o dobro do produto das raízes com o sinal negativo: -2 * (y) * (7) = -14y
Como todos os critérios são atendidos, a expressão é um Trinômio Quadrado Perfeito.
Então, y² – 14y + 49 = (y – 7)²
16. Calcule o valor de (100 + 3)² utilizando Produtos Notáveis.
Utilizando a fórmula do Quadrado da Soma: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Onde a = 100 e b = 3.
(100 + 3)² = 100² + 2 * 100 * 3 + 3² (100 + 3)² = 10000 + 600 + 9 (100 + 3)² = 10609
17. Calcule o valor de (50 – 1)² utilizando Produtos Notáveis.
Utilizando a fórmula do Quadrado da Diferença: (a – b)² = a² – 2ab + b²
Onde a = 50 e b = 1.
(50 – 1)² = 50² – 2 * 50 * 1 + 1² (50 – 1)² = 2500 – 100 + 1 (50 – 1)² = 2401
18. Calcule o valor de 48 * 52 utilizando Produtos Notáveis.
Reconheça o padrão do Produto da Soma pela Diferença: (a + b)(a – b) = a² – b²
Podemos reescrever 48 como (50 – 2) e 52 como (50 + 2).
Então, 48 * 52 = (50 – 2)(50 + 2)
Onde a = 50 e b = 2.
(50 – 2)(50 + 2) = 50² – 2² = 2500 – 4 = 2496
19. Se x + y = 7 e xy = 10, qual é o valor de x² + y²?
Sabemos que (x + y)² = x² + 2xy + y².
Podemos rearranjar a fórmula para encontrar x² + y²: x² + y² = (x + y)² – 2xy
Substitua os valores dados: x² + y² = (7)² – 2 * 10 x² + y² = 49 – 20 x² + y² = 29
20. Se a – b = 5 e ab = 6, qual é o valor de a² + b²?
Sabemos que (a – b)² = a² – 2ab + b².
Podemos rearranjar a fórmula para encontrar a² + b²: a² + b² = (a – b)² + 2ab
Substitua os valores dados: a² + b² = (5)² + 2 * 6 a² + b² = 25 + 12 a² + b² = 37